Drude公式以及电子伏特和波长的转换
Drude模型将金属表面的自由电子看作气体，可以很好的预测其光学性质。该模型提出了$\epsilon(\omega)$的表达式：
\[\epsilon_c = \epsilon_\infty - \frac{\omega_p^2}{\omega^2+i\gamma\omega}\]其中$\omega_p$为块状金属的等离子体频率(rad/s)，表达式为：
\[\omega_p = \sqrt{\frac{N_he^2}{\epsilon_0m*}}\]其中$N_h$代表电子密度(计算时注意单位是$cm^{-3}$或是$m^{-3}$)，m*代表有效质量。那么，如果假设$N_h$等于$1.7\times 10^{21}\;cm^{-3}$，m*为0.8 m0(m0代表电子的质量)。则$\omega_p$的结果为多少呢？
首先，公式中涉及到的常数为：
- $e=-1.6\times10^{-19}\;C$
- $m0=9.1093837015\times 10^{-31}\;kg$
- $\epsilon_0=8.85418782\times 10^{-12}\; m^{-3}kg^{-1}s^4A^2$
因此：
\[\omega_p = 2.597052\times 10^{15} (rad/s)\]转换成电子伏特
\[\omega_p = \frac{1240\cdot\omega_p(rad/s)}{2\pi c \cdot 10^{9}} = 1.7 (eV)\]基于球形纳米颗粒的吸收光谱，得到介电常数
- 首先将吸收光谱，转换成能量(eV)为单位的吸收光谱，代码为
# h*c/lda
evs = 1240*1e-3/lda
pl.plot(evs, qext)
然后根据吸收光谱图，找到$\omega_{sp}$，即等离子体共振峰，以及$\gamma$，即线性的增宽因子。根据文献1提供的公式，球形的微小纳米颗粒的偶极子极化率$\alpha$的公式为：
\[\alpha = 3\epsilon_0\rm{V}\frac{\epsilon - \epsilon_m}{\epsilon+2\epsilon_m}\]当分母小时的时候，纳米颗粒会出现LSPR吸收峰，即： \(\epsilon_r = -2\epsilon_m\)
$\epsilon_r$代表介电常数的实部，根据Drude模型，其表达式为：
\[\epsilon_r = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + \gamma^2}\]$\omega_p$为块状的等离子体震荡频率，因此纳米颗粒的共振频率和块状等离子体震荡频率的关系为：
\[\omega_{sp} = \sqrt{\frac{\omega_p^2}{1+2\epsilon_m} - \gamma^2}\]因此，如果知道$\omega_{sp}$和$\gamma$，可以算出$\omega_p$。如文献5所示，假设$\omega_{sp}$为0.98 eV，FWHM(也即$\gamma$)为0.66 eV。当溶液的介质为水，折射率为1.33。那么根据上述公式，$\omega_p$大约为2.26 eV。接着，设置一个初始的$\epsilon_\infty$，然后按照$\epsilon_c$的公式，计算得到纳米颗粒的介电常数$\epsilon$，然后根据mie公式的python代码，计算得到吸收光谱，最后根据将其与实验得到吸收光谱进行比较，校正$\epsilon_\infty$。这里我们校正得到$\epsilon_\infty$为1.8是比较符合文献的数据。
根据经验$\epsilon_\infty$和$\omega_p$都能够调节LSPR的峰位，而$\gamma$可以调节半峰宽，且$\epsilon_\infty$越小，LSPR越红移(波长越长)。